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( 文章自用，暂停更新！) 本篇幅系本人复习总结出的一个关于ky数学方面的文章，我会把我觉得有用的结论总结在上面。方便自己在复习时有用。文中结论部分可能不会按照大纲顺序进行排版，只要觉得有用的我就会直接往后面添。 文中若有错误的地方，恳请各位大佬指正，在下表示万分感谢。内容概要常用函数n阶导数公式泰勒公式等价无穷小定积分几何运用部分结论一、常用n阶导数公式 这里总结几个常用函数n阶导公式。 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. 这一部分技巧在于，将一个函数化简然后运用上面的公式将其求出。这里举两个简单的例子： ⑴.见到 ,将其变形为 。 ⑵.见到有理函数，可分解为若干个有理函数的和(差)。(怎么分解见下所示↓)https://zhuanlan.zhihu.com/p/264510923 二、泰勒公式表 相信大家应该熟稔于心了，这里就直接放出来。(图可能不太清晰)泰勒展开式A泰勒展开式B 说明:公式1-8需熟稔于心；公式9-10(arcsinx、tanx)只需记住前三个展开式即可；公式14-17、20、21不作要求，剩下的因人而异。三、等价无穷小 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. ⑩. ⑪. ⑫. ⑬ 说明:部分等价无穷小公式可以通过泰勒公式可得，所以熟悉泰勒公式是关键。四、定积分几何运用 字有点烂。。。几何应用1几何运用2几何运用3几何运用4几何运用5几何运用6几何运用7 五、部分结论 注：以下定理有些用得上，有些可能用不上。 1. 为偶函数， 为奇函数。 2.关于什么时候用等价无穷小的几个结论：(转载，非原创)请问等价无穷小什么时候用什么时候不能用？ PS：这个不作要求，了解下就行。 3.几个常用极限 ①. ②. ③. 4.若 在 出连续，且 (存在)，则 5.柯西极限定理：设函数 在 内有定义，且内闭有界(任意两点在a到正无穷之间，函数在这两点的闭区间有界)，若 , 则 6.施笃兹定理(O.Stolz):(转载，非原创)https://zhuanlan.zhihu.com/p/39015026 PS：可掌握也不可掌握，因人而异。 7.若 ,则 (定理推广) 8. 9. 若 在闭区间上连续、严格单调，且满足， 则有 。 10.若 至多有k个根，则 至多有k+n个根。(罗尔原话) 11.函数在同一侧，若有水平渐近线则无斜渐近线，有斜渐近线就无水平渐进线。 12. 求参数问题可转化为求斜渐近线问题。 13.区间再现公式: 14.设 在x=a处连续， ,则 在x=a处可导的充要条件是 。 15.行列式函数求导问题(不作要求) 16. f''(x)>0 17. (亡羊补牢小于等于未雨绸缪) 18. 19. 20. 21.点火公式(华里士公式) ①当n为正偶数时， ②当n为正奇数时， 22.若函数f(x)在[0,1]上连续，则 23.柯西-施瓦兹不等式:若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则 ,当f(x)=cg(x)时，等号成立。 24.闵可夫斯基不等式(可不作要求) 25.有理函数不定积分拆分法(留数定理)https://zhuanlan.zhihu.com/p/264510923 26.达布定理(导数零点定理)：设f(x)在[a,b]上可导，当 时， , 使得 。 只要在区间上找到两个导数是异号的，则内部一定有导数为0的点！ 该定理的逆否命题就是：如果一个函数在区间上处处可导，只要导数在这个区间上不为0，则导函数一定恒正或恒负。(即该函数在该区间上必有反函数) 导数介值定理：设f(x)在[a,b]上可导，若 ,对于任意的介于与 之间的μ，则，使得 若一个函数是可导函数，则f'(x)一定取得到已知两个导数之间的"所有值"。也就是说一个函数求导后，导函数一定不会出现跳越间断点、可去间断点、无穷间断点；但可能有振荡间断点。 也就是说，一个函数可导，f'(x)要么连续，要么就含有振荡间断点。 所以原函数(不定积分)存在定理就有： ①连续函数f(x)必有原函数F(x); ②含有第一类间断点、无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内比没有原函数F(x)，若f(x)含有间断点，一定是振荡间断点。 27. 28.若x→0，g(x)是x的n阶无穷小，f(x)是x的m阶无穷小，则 是x的n(m+1)阶无穷小。 未完待续！ 暑假已经过了一段时间，先来几句废话，和大家唠个嗑：笔者准高二，在此前经常遇到可以用柯西不等式简化计算或思路的题，虽然高中对这种方法并不做要求，但它的应用却十分广泛，从最原始的不等式问题，到函数、数列，再到解析几何，无不有它的身影。同时，它也是竞赛考察的一大内容，于是我称它为高考走向竞赛的桥，经典且美妙。 本文将带大家走入柯西不等式的世界，以高妙和小蓝本4为基础简述部分证明方法以及变式推广。 如有错误，欢迎指正。接下来步入正题。 首先，让我们揭开这背负盛名的不等式的神秘面纱，它的一般形式如下 ，针对这个式子，我们需要给出一些简单的约束条件，即 ，当且仅当 （ 为常数）时等号成立。 特殊地，我们规定当 时， （这点在下文证明中忽略） 接下来，我们欣赏几种证明方法并给予点评。 （1）构造二次函数法 分析所需证明的不等式，我们构造二次函数 因为 [1]，所以 ，化简后易得一般形式，得证。 点评：构造二次函数法浅显易懂，适合非竞赛生的理解。 （2）构造单调数列法 此方法只需证明某数列的单调性即可，具体如下。 构造单调数列 ，其中 ，易知 相信化简[2]难不倒大家，我只在注释中给出一种方法，不加赘述。 化简结果为 ，即数列单调递减 则 ，得证。 点评：构造单调数列法稍稍转化了原不等式，证明单调递减，相信还是很容易明白的。 （3）构造 维向量法 这种方法不仅仅能够证明柯西不等式成立，同时也解释了许多题目中柯西法与向量法本质相同的原因。 设 ，由向量点积公式易知 ，展开得证。 点评：借助向量这一工具，简约不拖沓。 （4）点积法 在介绍这种方法前，我们不妨先简单地推导一个结论：对任意非零向量 借助这个结论，我们来看一下点积法的具体过程 同样设 ，对任意 有 ，剩余处理方法可参考法（1） 点评：向量为始，函数为终，殊途同归。 （5）比值法 方便起见，我们作以下记号 ，则 [3]即 ，得证。 点评：巧妙转化，应用基本不等式，仍觉神奇。 下面提供几种归纳法证明，请移步小蓝本。 部分证明已经给出，小蓝本中还有几种应用了不等式的证明方法，略显深奥故不作讲解。 （1）对一般形式，特殊地取 ，则 （2） （3） 柯西不等式可推广为赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式，请移步小蓝本。 这里给大家准备2道小蓝本上的例题： 1、设是大于的自然数，求证 2、设是大于的实数，求证 以上就是本文的全部内容，码字不易，希望大家喜欢。 从幼儿园跨入到小学一年级，原本生动有趣的数学学习被减缩到一纸一笔，且随着年级发展越发呈现出重结果轻过程、重解题轻创造、重知识轻素养、重眼前轻长远的趋势。 鉴于此，我和团队的老师们提出了基于“数学实验”内容开发的学习方式探索，并以“玩、做、学合一”的学习理念，把抽象的概念、公式、规律融于可操作、可实践、可尝试、可创造的实验场景中。 不仅如此，老师们还规划了一到六年级的数学实验内容，更好地落实学科核心素养（如下表），让数学学习生动有趣。 在此，呈现8个有趣的数学小实验，供一线老师教学参考。 8个超有趣的数学小实验 实验一：流逝的时间能称出来吗？ 难度：★★ 准备材料：塑料瓶、一次性杯子、计时器、一张纸、笔、电子秤 实验步骤： 第一步：准备一个干净且内部干燥的塑料瓶，用大铁钉在瓶盖上戳上几个小洞。 第二步：首先，把沙子平铺在地上，晒干沙子，同时过筛，确保沙子的颗粒大小基本相同。其次，用废纸做个简单漏斗放在塑料瓶口，用塑料杯将地上筛好的沙子慢慢装入瓶中，制成简单沙漏。 第三步：用电子秤称出一次性杯子的质量，因为质量很轻，可以忽略不计。 第四步：打开计时器，设定30秒倒计时。将简易沙漏倒过来，瓶子里的沙子顺着小孔往下流入一次性杯子中。（注意：要让沙子保持一定的速度不变） 第五步：30秒后，用秤称出杯子中沙子的质量，并记录数据。 第六步：只做一次可信度不高，需要多做几次，并填写在记录表中。根据三次的记录结果，算出平均每30秒流失的沙子大约重11克。 拓展学习：请算出一年大约要流失多少千克沙子？ 实验二：你能折出“珠穆朗玛峰”的高度吗？ 难度：★★★ 准备材料：电子测量仪、报纸一张、计算器、尺一把 实验步骤： 第一步：把报纸对折一次，用电子测量仪测出对折后的报纸厚度为0.126毫米（纸张太薄用尺无法测量），为了后面的计算方便，我们把数值设为0.1毫米。 第二步：不断对折，发现最多能折7次。第7次后，想再对折，就没有力量把它对折过来了，即使成人也完成不了。 第三步：完成数据推算，并填入下表。 拓展学习：准备2米场的卷筒卫生纸，试试可以对折几次，并推算出每次的厚度。 实验三：如何制作“水杯琴” 难度：★★ 准备材料：一个量筒、一张纸、一支笔、一个玻璃杯、一根小棒、一些水 实验步骤： 第一步：用小棒轻轻敲打空杯，发出清脆的声音“Ti”。第一次用量筒量出30毫升的水倒入空杯中，再用小棒轻轻敲打玻璃杯，发出的声音是“Sol”。第二次再增加30毫升水，用小棒轻轻敲打玻璃杯，发出的声音是“Mi”。第三次在增加30毫升水，用小棒轻轻敲打玻璃杯，发出的声音是“Re”。第四次增加30毫升水，再用小棒轻轻敲打玻璃杯，发出的声音是“Do”。 第二步：把得到的信息记录在下表中，然后猜测“Fa”和“La”的水量。 第三步：验证猜想。将玻璃杯中的水倒干净，先用量筒盛20毫升的水倒入空杯中，轻轻敲打玻璃杯，听听是否有“La”的声音。再用量筒加5毫升的水倒进去，听听“La”的声音是否更加清晰。同理，将玻璃杯的水倒干净，先用量筒盛40毫升的水倒入空杯中，轻轻敲打玻璃杯，听听是否有“Fa”的声音。再用量筒加10毫升的水倒入杯中，听听“Fa”的声音是否准确。 拓展学习：如何制作八度水杯音阶？ 实验四：怎样制作“莫比乌斯环” 难度：★★★ 准备材料：两张不同颜色的蜡光纸条，一条红色，约50厘米；一条黑色，约50厘米、一个固体胶、一支彩色笔、一把剪刀 实验步骤： 第一步：用黑色纸条卷成一个普通的圆环。 第二步：用红色纸条，把纸条一端扭转180°后，两头再粘接起来。 第三步：如果我们把黑色普通圆环沿中线剪开，就会变成两个圆环。但是，如果我们把红色纸带圈用剪刀沿纸带的中心线剪开，不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸带圈，其两条边界自身虽不打结，但相互套在一起。 第四步：如果我们再沿红色纸带的中心线把它剪开，这次真的一份为二了，但得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结。 拓展学习：试着将纸条扭转2个半圈、3个半圈、4个半圈后，再粘贴在另一头做成一个环。用剪刀剪开这些圆环，能发现什么？ 实验五：你能用直尺画出曲线吗？ 难度：★★★★ 准备材料：直尺、笔、圆规、纸 实验步骤： 第一步：用圆规绘制一个大圆，将圆心角进行24等分，即每段圆弧对应的圆心角为15°。按照这样的方法就可以将大圆平均分成24段相等的圆弧，可以标上1-24的数。 第二步：选择将间隔为5的两个点相连，即1和6，2和7，3和8……重复同样的方法，将24个点全部连接完。 第三步：发现在大圆的内部出现了一个近似的小圆，而这小圆是由一条条线段构成的。 拓展学习：用直尺画出一个椭圆吧！ 实验六：哪个陡坡角度滚得更远？ 难度：★★★ 准备材料：1幅三角板、球形巧克力1个、1米长卷尺、30厘米长硬面文件夹、胶带纸1卷 实验步骤： 第一步：设置斜坡为30°、45°、60°的实验陡坡装置，然后将巧克力球和胶带纸从装置上滚落，再用卷尺测量滚动的距离。 第二步：数据收集，每个角度实验3次，然后取平均值，对比滚动距离。 第三步：发现角度与滚动距离的规律。当斜坡装置不足45°时，不管巧克力球还是胶带圈，滚动的距离都随着角度的慢慢变大而越来越远。当斜坡装置45°时，巧克力球和胶带圈在地面上滚动的距离最远。当斜坡装置超过45°时，斜坡角度越大，距离反而开始变小了。所以三个斜坡角度中，并不是斜坡60°的物体滚得最远。 拓展学习：到底多少度才能使物体滚得最远？还可以从哪些角度研究？生活中的楼梯、桥梁等，它们的斜度又是如何设计的？ 实验七：如何测量筷子的体积？ 难度：★★★★ 准备材料：一个重物、橡皮筋、大中小号量杯各一个、一次性筷子2双 实验步骤： 筷子不是形状规则的物品，不能直接用公式计算，对此，我们可以采用排水量的方法来测量它的体积，具体方法如下：在大号量杯里倒满水，再将筷子放进水里。这样，大号量杯就会溢出一些水，再把这些溢出的水放入中号或小号量杯，量杯里的水所占用的容积就是筷子的体积。 注意：（1）如果筷子太轻沉不下去，可将重物绑在筷子上，这样就能沉下去了。由于重物也是不规则的，所以先用排水法量出重物的体积，然后再用重物和筷子的体积，减去重物的体积，这样就能得到筷子的体积了。 （2）如果筷子太长淹没不了，可将筷子折成3段就行。 （3）如果筷子太轻变化不明显，可以将多双筷子绑在一起，然后用总体积除以筷子的根数，就能算出每根筷子的体积。 （4）为了减少测量误差值，可以做10次试验，然后取平均值。 拓展学习：筷子能将装满大米的瓶子提起来吗？ 实验八：如何测量大树的高度 难度：★★★ 准备材料：卷尺、一根木杆 实验步骤： 第一步：将一根木杆垂直插在地上，再在与眼睛高度齐平的地方切断木杆。 第二步：对树进行观察，在心中大致估计树的高度，沿地面找到合适的距离，重新垂直插入木杆。然后背靠地面躺下，用脚顶住木杆后越过木杆看树顶。若发现木杆顶与树顶不一致，就尝试换一个新位置，直到刚好越过直立木杆顶端能看到树顶。 第三步：测量躺下时眼睛所在的位置到树墩的距离，该距离就等于树的高度。 第四步：想一想为什么会这样。当躺下的位置刚好越过木杆顶端看到树顶时，树顶、木墩和眼睛三点连成了一个大等腰直角三角形，那么眼睛到树墩的距离是大等腰直角三角形的直角边，树高也是一条直角边，两条直角边相等，只要测量出眼睛所在的位置到树墩的距离，就知道了树的高度。 拓展学习：还有那些方法可以测量树的高度呢？ 数学实验的研究步骤构造 实施数学实验学习，旨在降低学习难度与发展学生数学研究的兴趣和能力。为此，我和团队教师还构建了数学实验研究的七步循环。这“七个步骤”代表数学实验的迭代过程，而非线性的工作。 第一步：提出问题。每个数学小实验，应该把“提出问题”放在第一位，要舍得花费时间让学生提出各种问题，然后引领学生筛选出有价值的问题进行实验。在《如何用绿豆测量树叶面积》实验中，全班提出了30多个好问题。 第二步：猜想与假设。数学实验的推进，离不开猜想。学生从现象中发现问题，再到形成猜想，需要一定环境和时间，在这个过程中，作为数学实验的指导者不要急于求成，要让学生充分讨论，在讨论的基础上提出猜想或假设。 例如，在《如何用绿豆测量树叶面积》实验中，学生形成这样的假设：先在不规则图形的上空撒下一把绿豆，然后分别数出在长方形里面和不规则图形里面的绿豆的数量，看看两部分数量有怎样的倍数关系，那么它们的面积也应该具有这样的关系。 第三步：设计实验。如果说提出问题和形成猜想是宏观上的思想，那么设计实验就是微观上的操作。例如，如何让绿豆撒的均匀，小组进行了“头脑风暴”，集思广益，生成了实验方案和规范操作，保证了实验的科学性。 第四步：进行实验。从理论到实践，进行实验是承上启下的重要环节，也最能锻炼学生的动手能力。为了更多获取撒绿豆的数据，全班分为10个组，有分工，有合作，数据共享，使得实验效益最大化。 第五步：分析论证。数学实验完成后，要对实验观测的数据结果或现象进行分析论证，以回应实验猜想或假设。一般情况下，数学实验的结论背后往往隐藏着数学原理，让学生进行分析论证，尝试对“数学原理”做出解释，能够使学生获得“豁然开朗”的学习体验，这样的体验将会进一步提升他们探求的欲望和兴趣。 第六步：得出结论。考虑到小学生的年龄特征，数学实验结论表征可以是多元化的，既可以是数据，也可以是文字、图画。例如，“生活中的100是多少”数学实验，学生的结论大多是生动的场景说明。 第七步：评估交流。评估交流环节不仅是为了展示成果，更为重要的是在沟通中反思自己的所作所为，回顾并完善数学实验的每个步骤和方法，从而促进元认知的发展。 研究步骤循环图 以上数学实验内容摘自《数学实验王·时间怎么能称出来》（低级篇）《数学实验王·直尺怎么能画出直线》（中级篇）《数学实验王·投针怎么能得出圆周率》（高级篇）。 这是一套属于孩子的数学实验书籍，由数学特级教师吴恢銮倾力编著，在这套书中孩子可以学会：了解数字关系，学会空间想象，掌握初步推理，启发建模意识…… 通过实验操作，孩子不需要埋头苦想，只需通过几步操作就能轻而易举地理解数学知识。每个实验对应相关的数学知识点，并对其难易程度进行星级表示，帮孩子们系统梳理知识点，并能对照难度水平及自身水平能有针对性地选择实验进行操作。 更多干货关注蒲公英学习营！考研数学小结论总结的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于考研数学小结论总结、考研数学小结论总结的信息别忘了在本站进行查找喔。
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原文地址：http://wrjqt.opensoft-fs.com.cn/post/24197.html发布于：2026-04-24
